Sederhana Tapi Mewah: IRISAN KERUCUT SEBAGAI KURVA BERDERAJAT DUA

3.1. irisan kerucut dan persamaan umum kurva berderajat dua

Jika diberikan sebuah kerucut kemudian kerucut tersebut dipotong dengan berbagai cara maka akan diperoleh sebuah bidang perpotongan. Gambar berikut menunjukkan berbagai bentuk irisan yang diperoleh dari hasil perpotongan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva yang secara umum disebut irisan kerucut (conic section). Bentuk-bentuk irisan keruct seperti yang ditunjukkan pada gambar (a) berupa sebuah lingkaran, gambar (b) adalah elips, gambar (c) membentuk parabola, dan gambar (d) menghasilkan hiperbola.

Gambar 1. Contoh kurva hasil dari irisan sebuah kerucut

Namun para ahli matematika telah menyepakati bahwa secara umum bentuk irisan kerucut adalah parabola, elips, dan hiperbola. Sedangkan lingkaran merupakan kasus khusus dari elips. Masing-masing kurva tersebut memiliki persamaan kurva berderajat dua yang unik.

Hasil irisan kerucut tersebut memperlihatkan bahwa kedudukan titik-titik akan bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap dan garis tetap sehingga terbentuk irisan kerucut. Tiap irisan kerucut memiliki komponen-komponen yang menjadi karakteristik dari tiap bentuk kurva yaitu esentrisitas (eccentricity), garis direktriks (directrix), dan titik fokus. Misalkan sebuah titik P bergerak terhadap sebuah garis tetap l, dan sebuah titik tetap F. Jarak P ke F dinyatakan oleh d dan jarak P ke l dinyatakan oleh d¢.

Perbandingan jarak d dan d¢ disebut esentristitas yaitu e = d : d¢. Garis l disebut garis direktriks dan titik F disebut titik fokus. Nilai esentrisitas akan menentukan jenis irisan kerucut dengan nilai e meliputi e < 1, e = 1, dan e > 1.

Sebuah kurva bidang (plane curve) merupakan himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut :

dengan nilai koefisien A, B, dan C ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Semua persamaan berderajat dua seperti di atas, pada sistem koordinat persegi panjang akan merepresentasikan sebuah kurva yang dinamakan irisan kerucut (conic). Bentuk persamaan kurva berderajat dua juga dapat dinyatakan sebagai berikut :

dengan nilai koefisien a, b, dan h ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Jika kurva berderajat dua melalui titik (0, 0) maka diperoleh persamaan kurva yaitu :

dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak bersamaan bernilai nol

atau

3.2. lingkaran

Definisi:

Lingkaran adalah himpunan titik0titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Jarak tersebut dinamakan jari-jari (r) dan titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran (O).

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r adalah

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r adalah

Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran yang berpusat di O dan berjari jari r adalah

Apabila diketahui titik singgung lingkaran T(x₁,y₁), maka persamaan garis singgung lingkaran x²+y²=r² di titik singgung T adalah

Sudut antara dua lingkaran adalah sudut yang diapit oleh garis-garis singgung pada lingkaran di titik potong kedua lingkaran itu.

3.3 elips

Definisi

Ellips adalah himpunan semua titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.

Persamaan ellips yang berpusat O(0,0) dengan panjang sumbu mayor 2a adalah

berdasarkan gambar diatas didapatkan

c² = a² + b²
^{Eksentrisitas
numerik}
AB adalah sumbu mayor ellips dengan panjang 2a

CD adalah sumbu minor ellips dengan panjang 2b

Untuk ellips yang berpusat di P(α,β) dengan sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat persamaannya adalah

Persamaan garis singgung ellips yang berpusat di O adalah

Sifat utama garis singgung :

Garis singgung di suatu titik pada ellips membagi dua sama besar sudut antar garis penghubung titik itu dengan titik fokus yang satu dan perpanjangan garis penghubung titik tersebut dengan titik fokus lainnya

Persamaan garis-garis arah (direktris) dari ellips adalah

3.4. hiperbola

Definisi:

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Titik tertentu itu adalah titik fokus.

Eksentrisitas dari hiperbola e>1

Persamaan pusat dari hiperbola adalah