TITIK DAN KURVA PADA SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

1.1 Sejarah Geometri Analitik

Geometri analitik merupakan kajian terhadap obyek-obyek geometri dengan menggunakan sistem koordinat yang diulas menggunakan konsep dan prinsip aljabar dan analisis. Perkembangan geometri analitik dimulai dengan kehadiran bentuk baru persamaan (equation) Bentuk baru persamaan tersebut memungkinkan untuk mengklasifikasikan kurva berdasarkan derajat (degree). Kurva berderajat satu adalah garis lurus (straight lines), kurva berderajat dua merupakan irisan kerucut (conic sections), dan kurva berderajat tiga dinamakan kurva kubik (cubic curves).

Descartes (sekitar tahun 1637) menggunakan bentuk baru persamaan tersebut untuk mengubah masalah-masalah geometri menjadi masalah aljabar menggunakan koordinat sehingga dapat diselesaikan dengan manipulasi aljabar. Pengubahan tersebut dilakukan berdasarkan relasi antara himpunan titik-titik yang berkorespondensi satu-satu dengan himpunan bilangan riil. Sebuah titik dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan riil (x,y). Descartes dalam bukunya Geometry (La Geometrie) menggunakan pertama kali bentuk sumbu koordinat untuk menganalisis sebuah kurva secara aljabar, seperti terlihat dalam gambar berikut.

Gambar 1. Diagram pertama yang digunakan Descartes untuk menganalisis kurva secara aljabar

(Sumber : Smith & Latham, 1957 : 50)

Ide awal geometri analitik adalah penyajian kurva sebagai persamaan, yang selanjutnya dikembangkan untuk memperluas berbagai teknik manipulasi aljabar sehingga dari persamaan tersebut diperoleh informasi mengenai kurva. Descartes telah menunjukkan bahwa setelah suatu masalah geometri diubah menjadi masalah aljabar maka persamaan tersebut diselesaikan untuk memperoleh penyelesaian masalah geometri. Perkembangan tersebut memungkinkan penyelesaian berbagai masalah kompleks dan menghasilkan bidang kajian baru dalam matematika yaitu kalkulus dan trigonometri, yang selanjutnya menjadi dasar perkembangan sains dan teknologi modern.

1.2 Pemecahan Masalah Polya

Pemecahan masalah (problem solving) merupakan suatu prosedur untuk menemukan penyelesaian yang tepat atas suatu masalah. Prosedur tersebut pertama kali diformulasikan oleh George Polya (1887 - 1985) seorang guru dan ahli matematika yang menyatakan bahwa ada empat tahap pemecahan masalah yaitu :  understand the problem, devise a plan, carry out the plan, dan look back sebagai berikut :

1)        Understanding the Problem

Tahap pertama yang dilakukan untuk memecahkan masalah adalah memahami masalah. Cara yang disarankan Polya untuk memahami masalah dengan baik yaitu dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut :

a.         Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !

b.        Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !

c.         Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?

d.        Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?

e.         Informasi apa saja yang tidak ada / hilang dari permasalahan itu ?

f.         Informasi apa saja yang tidak dibutuhkan dari permasalahan itu ?

2)        Devising a Plan

Tahap kedua pemecahan masalah adalah menentukan rencana penyelesaian berupa strategi-strategi pemecahan masalah. Beberapa strategi pemecahan masalah antara lain :

a.         Menemukan pola

b.        Menguji masalah yang relevan dan memeriksa apakah teknik yang sama dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

c.         Menguji masalah yang lebih sederhana atau khusus dari permasalahan itu dan diperbandingkan dengan penyelesaian masalah sebenarnya

d.        Membuat tabel

e.         Membuat diagram / gambar

f.         Menebak dan memeriksa (guess and check / trial and error)

g.        Menggunakan persamaan (equation) matematika

h.        Bekerja mundur (work backward)

i.          Mengidentifikasi bagian dari hasil (subgoal)

3)        Carrying Out the Plan

Tahap ketiga pemecahan masalah terdiri dari tiga aktivitas yaitu :

a.         Menerapkan satu atau lebih strategi pemecahan masalah untuk menemukan penyelesaian atau perhitungan

b.        Memeriksa setiap langkah strategi yang digunakan baik secara intuitif maupun dengan bukti formal

c.         Menjaga keakuratan proses pemecahan masalah

4)        Looking Back

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :

a.         Memeriksa dengan pembuktian

b.        Menginterpretasikan penyelesaian/solusi berdasarkan permasalahan berdasarkan  rasional atau pun argumentasi (reasonable)

c.    Jika memungkinkan lakukan pengujian untuk masalah lain yang relevan atau pun  yang lebih umum dengan menggunakan teknik/strategi pemecahan masalah  tersebut

1.3 Penggunaan Geogebra dalam Geometri Analitik

GeoGebra adalah software matematika yang dinamis dan bersifat open source untuk pembelajaran dan pengajaran matematika di sekolah. GeoGebra dikembangkan oleh Markus Hohenwarter. Geogebra diunduh dari http://www.geogebra.org. Pada website ini juga telah disediakan berbagai contoh worksheet dan tutorial yang dapat digunakan untuk belajar tentang geometri, aljabar, kalkulus bahkan statistika. Agar Geogebra dapat dijalankan pada komputer atau laptop maka dibutuhkan perangkat lunak Java yang dapat diunduh secara gratis dari website http://www.java.com. Perkembangan Geogebra hingga bulan Desember 2016 yaitu telah tersedia versi IPad dan Android yang dapat diunduh secara gratis.

GeoGebra merupakan suatu sistem geometri dinamis sehingga pada Geobera dapat dilakukan berbagai kegiatan konstruksi dengan titik, vektor, ruas garis, garis, irisan kerucut, serta fungsi, dan mengubah hasil konstruksi selanjutnya. Di sisi lain, persamaan dan koordinat dapat dimasukkan secara langsung pada Input Bar yang disediakan. Hal ini dapat dimanfaatkan untuk menangani variabel / peubah untuk angka, vektor, titik, menemukan turunan atau integral fungsi. Kemampuan tersebut dimungkinkan karena Geogebra dikembangkan berdasarkan geometri analitik yang menggunakan prinsip-prinsip geometri dan aljabar secara komprehensif. Interface (tampilan) dasar GeoGebra dibagi dalam tiga bagian : Input Bar, Algebra View dan Graphic View seperti diperlihatkan dalam gambar berikut.

Gambar 2. Tampilan Dasar Geogebra

Algebra view digunakan untuk menampilkan dan mengubah obyek aljabar, Graphic View untuk menampilkan dan mengubah obyek geometri, dan Input Bar digunakan untuk memasukkan persamaan obyek.

Menu utama GeoGebra meliputi : File, Edit, View, Option, Tools, Windows, dan Help. Menu File menyediakan fasilitas untuk membuat, membuka, menyimpan, mengekspor file, dan keluar program. Menu Edit dipakai untuk mengedit lukisan. Menu View digunakan untuk pengaturan tampilan jendela kerja. Menu Option digunakan untuk pengaturan huruf, pengaturan obyek-obyek geometri, dan sebagainya. Perangkat konstrukdi diaktifkan melalui Menu Tools seperti diperlihatkan pada gambar di bawah. Sedangkan menu Help menyediakan petunjuk teknis penggunaan GeoGebra.

Gambar 3. Menu Tools

Perangkat konstruksi (Construction tools) Geogebra meliputi : sepuluh perangkat (tools) yang berkaitan dengan : movement (untuk pergerakan obyek), point (titik), line (garis), special line, polygon, circle and arc, conic section (irisan kerucut), measurement (pengukuran sudut, panjang, luas, gradien), transformation, special object, action object, dan general tools.  Perangkat tersebut juga dapat diaktifkan menggunakan ikon seperti terlihat pada gambar berikut.

Gambar 6. Ikon perangkat konstruksi Geogebra

1.4 Kedudukan Titik-titik dan Jarak antara Dua Titik

Dua buah titik berbeda akan berada pada posisi yang berbeda. Jarak kedua titik tersebut dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Buatlah dua titik berbeda yaitu A dan B lalu hubungkan dengan sebuah ruas garis.
2. Buat sebuah garis melalui A dan sebuah garis lain yang melalui B sehingga kedua garis berpotongan tegak lurus.
3. Tentukan titik potong kedua garis yaitu C sehingga diperoleh segitiga siku-siku ACB atau BCA lalu ukur panjang ruas garis CA dan CB
4. Tentukan panjang ruas garis AB dengan menggunakan Teorema Phytagoras :

Titik-titik pada sebuah bidang yang membentuk himpunan titik dan memenuhi suatu kriteria tertentu dinamakan kedudukan titik (locus of points). Kedudukan titik dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi. Misalnya titik-titik pada lingkaran berjari-jari 1 cm dapat dinyatakan sebagai x² + y² = 1. Secara geometris, hanya titik-titik berjarak 1 cm dari titik pusat lingkaran tersebut yang memenuhi kedudukan titik yang dinyatakan oleh persamaan x² + y² = 1. Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems) dinyatakan sebagai berikut.

Teorema 1.1 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik P adalah sebuah lingkaran berpusat di titik P dengan ukuran panjang jari-jari d

Teorema 1.2 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis l  adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis l

Teorema 1.3 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus  terhadap ruas garis  dan membagi  menjadi dua bagian sama besar

Teorema 1.4 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l1 dan l2 merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.

Teorema 1.5 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l1 dan l2, adalaha sepasang ruas garis (disebut bisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis l1 dan l2

Teorema 1.6 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle)

Teorema 1.7 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya

Teorema 1.8 Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.

Teorema 1.9 Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.