GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

2.1 Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut Inklinasi

Garis dibentuk oleh paling sedikit dua buah titik berbeda. Sebagai suatu himpunan, garis merupakan himpunan titik-titik yang tak hingga dan tak berbatas sehingga garis tidak memiliki dimensi panjang. Jika garis dibentuk oleh titik A dan B maka garis tersebut dapat dinamakan sebagai garis AB. Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h, l, m dan sebagainya. Sebuah garis juga disebut kurva berderajat satu yang dinyatakan sebagai :

Ax + By + C = 0 untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil

Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut.

Contoh 1

Sebuah garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1) Substitusi koordinat titik ke dalam persamaan kurva

Garis melalui A(1, 2)  A(1) + B(2) + C = 0  A + 2B + C = 0 ---------------------------- pers. 1

Garis melalui B(-3, 4)  A(3) + B(-4) + C = 0  -3A + 4B + C = 0 ------------------------ pers. 2

Garis melalui C(5, 0)  A(5) + B(0) + C = 0  5A + C = 0 --------------------------------- pers. 3

Langkah 2) Membuat sistem persamaan linier tiga variabel −𝐴+2𝐵+𝐶=03𝐴+4𝐵+𝐶=05𝐴+𝐶=0

Langkah 3) Menyelesaikan sistem persamaan linier

Penyelesaian sistem persamaan linier di atas yaitu :

A = 1, B = 2 dan C = -5

Maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis yang melalui A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) yaitu x + 2y - 5 = 0

Sketsa garis tersebut pada sistem koordinat Cartesius seperti gambar di bawah.

Sudut bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif dinamakan sudut inklinasi garis (angle of inclination) dan biasanya dinotasikan oleh sudut alpha. Kemiringan suatu garis dinamakan gradien (slope of the line) dan dinyatakan oleh notasi m.
Nilai tangent sudut  dapat ditentukan sebagai perbandingan antara panjang sisi tegak terhadap panjang sisi alas segitiga siku-siku. Sehingga dapat dirumuskan :

𝒎 = 𝐭𝐚𝐧𝜶 

                  = 𝒚𝟐−𝒚𝟏/𝟐−𝒙𝟏 

         𝜶 = 𝒂𝒓𝒄 𝐭𝐚𝐧 𝒎

Jadi nilai gradien suatu garis merupakan nilai tangen sudut inklinasi dan besarnya sudut inklanasi adalah nilai arc tan dari gradien garis.

Bentuk persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari x di mana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat sebagai berikut :

𝑨𝒙+𝑩𝒚+𝑪=𝟎 ⇒𝑩𝒚= −𝑨𝒙−𝑪 ⟹𝒚= −𝑨/𝑩𝒙− 𝑪/𝑩 ⟹𝒚=𝒎𝒙+𝒄

Konstanta m disebut sebagai gradien yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta persamaaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.

MENDESKRIPSIKAN GARIS BERDASARKAN GRADIEN DAN SUDUT INKLINASI

OR ⊥ AB, sehingga:

 

.

2.2 Sifat-sifat Garis dalam Bidang : Kesejajaran dan Perpotongan

         Sifat-sifat garis yang berada dalam sebuah bidang dalam geometri Euclide meliputi garis-garis yang berpotongan atau tidak berpotongan. Dua buah garis dikatakan berpotongan jika ada sebuah titik potong yang dilalui kedua garis. Dua garis tidak berpotongan disebut saling sejajar.

2.3 Persamaan Normal Sebuah Garis

x cos 𝛃 + y sin 𝛃 - p = 0

dengan, 

Contoh soal

     Misalkan x menyatakan suhu dalam derajat Celsius (centigrade) dan variabel y menyatakan suhu dalam derajat Fahrenheit. Ukuran suhu 0°C setara dengan 32°F, dan suhu 100°C sama dengan 212°F. Tentukan persamaan garis yang menyatakan hubungan suhu y Fahrenheit terhadap suhu x Celsius dalam bentuk y = mx + c. Ubahlah persamaan tersebut dalam persamaan normal. Buatlah grafik garis pada sistem koordinat Cartesius, tentukan titik-titik potong garis dengan sumbu koordinat.

Penyelesaian :

Diketahui :
x menyatakan suhu dalam derajat Celsius
y menyatakan suhu dalam derajat Fahrenheit
0°C setara dengan 32°F
suhu 100°C sama dengan 212°F

Ditanya :
1. Persamaan garis 
2. Persamaan normal garis tersebut.
3. grafik garis pada sistem koordinat Cartesius.

Jawab :

1. Persamaan Garis

   Menggunakan persamaan gradien

2) Persamaan Normal garis tersebut

 y = 1,8x + 30, maka m = 1,8

𝛂 = arc tan m

𝛂 = arc tan 1,8

𝛂 = 60,95◦

𝛃 = 90° + 60,95°

𝛃 = 150,95°

Misalkan titik potong di y = 0, maka x = -16,67

p = -16,67 . cos 150,95°

p = -16,67 . -0,87

p = 14,5 

Persamaan Normal garis :

x cos 𝛃 + y sin 𝛃 - p = 0

x cos 150,95° + y sin 150,95° - 14,5 = 0

x (-0,87) + y (0,48) - 14,5 = 0

-0,87x + 0,48y - 14,5 = 0

Jadi persamaan normal dari  y = 1,8x + 30 adalah -0,87x + 0,48y - 14,5 = 0