KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

4.1. Sistem Koordinat Kutub

Dalam bab sebelumnya kita telah mempelajari sistem koordnat kartesius (koordinat siku-siku), dengan sistem koordinat ini kita tekalh dapat menyatakan persamaan garis lurus, lingkaran, ellips, hiperbola dan parabola.

Selain dengan sistem koordinat kartesius, cara lain untuk menentukan keddukan titik pada bidang adalah dengan sistem koordinat kutub. Dalam sistem koordinat kutub hanya menggunakan sebuah sinar garis sebagai patokan muka, biasanya garis ini digambar mendatar dan mengarah ke kanan seperti tampak pada gambar dibawah ini. Garis ini dinamakan sumbu kutub, sedangkan titik pangkalnya yang biasa diberi nama dengan huruf O disebut Kutub atau titik asal.

Sebuah titik P (selain titik kutub) dinyatakan kedudukan oleh jarak titik O ke P dan sudut antara garis OP dan sumbu kutub, mkaa (r,θ) adalah sepasang koordinat kutub dari titik P. Selanjutnya r disebut jari-jari penunjuk dari P atau radius vektor dari P. Sedangkan θ disebut argumen dari P atau sudut kutub dari P

Hubungan sistem koordinat kartesius dan sisitem koordinat kutub adalah

4.2. persamaan kutub dan grafiknya

Sistem koordinat kutub memberikan alternatif pilihan di samping sistem koordinat kartesius. Ada kurva-kurva yang persamaannya sederhana dalam suatu sistem dan ada kurva yang persamaannya sederhana dalam sistem lain. Banyak kurva yang rumit, namun  persamaannya sederhana apabila dinyatakan dengan koordinat kutub. Demikian pula dalam perhitungan-perhitungan, kadang-kadang dengan menyatakan persamaannya dengan koordinat kutub, perhitungan akan menjadi lebih sederhana.

Berikut ini bentuk baku persamaan kutub dari beberapa kurva

θ = θ₀      persamaan garis lurus melalui kutub dan membentuk sudut θ₀ dengan sumbu kutub

persamaan garis lurus yang berjarak d satuan dari kutub dan normalnya membentuk sudut θ₀ dengan sumbu kutub.

persamaan garis lurus yang tegak lurus sumbu kutb dan melalui titik (d,0)

 persamaan garis lurus yang sejajar sumbu kutub dan melalui titik (d, π/2)

persamaan lingkaran yang berpusat di (a , θ₀) dan berjari-jari a

persamaan lingkaran yang berpusat di (a,0) dan berjari-jari a

persamaan lingkaran yang berpusat di (a,π/2) dan berjari-jari a

persamaan lingkaran yang berpusat di kutub dan berjari-jari a

persamaan konik dengan fokus di kutub dan garis arah berjarak d dari kutub serta       normalnya membentuk sudut θ₀ dengan sumbu kutub dan keeksentrikan e

persamaan konik dengan fokus di kutub dan garis arah tegak lurus pada sumbu kutub sejauh d satuan dari kutub.

persamaan konik dengan fokus di kutub dan garis arah sejajar seumbu kutub sejauh d satuan dari kutub.

dengan a dan b konstanta positik menyatakan persamaan limason

menyatakan persamaan kardioda.

grafiknya disebut lemniskat dan berbentuk seperti angka delapan

grafiknya dinamakan mawar. Banyaknya daun mawar adalah n jika n ganjil dan 2n jika n genap.

disebut persamaan spiral archimedes.

disebut persamaan spiral logaritma.

IRISAN KERUCUT SEBAGAI KURVA BERDERAJAT DUA

3.1. irisan kerucut dan persamaan umum kurva berderajat dua

Jika diberikan sebuah kerucut kemudian kerucut tersebut dipotong dengan berbagai cara maka akan diperoleh sebuah bidang perpotongan. Gambar berikut menunjukkan berbagai bentuk irisan yang diperoleh dari hasil perpotongan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva yang secara umum disebut irisan kerucut (conic section). Bentuk-bentuk irisan keruct seperti yang ditunjukkan pada gambar (a) berupa sebuah lingkaran, gambar (b) adalah elips, gambar (c) membentuk parabola, dan gambar (d) menghasilkan hiperbola.

Gambar 1. Contoh kurva hasil dari irisan sebuah kerucut

Namun para ahli matematika telah menyepakati bahwa secara umum bentuk irisan kerucut adalah parabola, elips, dan hiperbola. Sedangkan lingkaran merupakan kasus khusus dari elips. Masing-masing kurva tersebut memiliki persamaan kurva berderajat dua yang unik.

Hasil irisan kerucut tersebut memperlihatkan bahwa kedudukan titik-titik akan bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap dan garis tetap sehingga terbentuk irisan kerucut. Tiap irisan kerucut memiliki komponen-komponen yang menjadi karakteristik dari tiap bentuk kurva yaitu esentrisitas (eccentricity), garis direktriks (directrix), dan titik fokus. Misalkan sebuah titik P bergerak terhadap sebuah garis tetap l, dan sebuah titik tetap F. Jarak P ke F dinyatakan oleh d dan jarak P ke l dinyatakan oleh d¢.

Perbandingan jarak d dan d¢ disebut esentristitas yaitu e = d : d¢. Garis l disebut garis direktriks dan titik F disebut titik fokus. Nilai esentrisitas akan menentukan jenis irisan kerucut dengan nilai e meliputi e < 1, e = 1, dan e > 1.

Sebuah kurva bidang (plane curve) merupakan himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut :

dengan nilai koefisien A, B, dan C ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Semua persamaan berderajat dua seperti di atas, pada sistem koordinat persegi panjang akan merepresentasikan sebuah kurva yang dinamakan irisan kerucut (conic). Bentuk persamaan kurva berderajat dua juga dapat dinyatakan sebagai berikut :

dengan nilai koefisien a, b, dan h ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Jika kurva berderajat dua melalui titik (0, 0) maka diperoleh persamaan kurva yaitu :

dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak bersamaan bernilai nol

atau

3.2. lingkaran

Definisi:

Lingkaran adalah himpunan titik0titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Jarak tersebut dinamakan jari-jari (r) dan titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran (O).

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r adalah

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r adalah 

Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran yang berpusat di O dan berjari jari r adalah

Apabila diketahui titik singgung lingkaran T(x₁,y₁), maka persamaan garis singgung lingkaran x²+y²=r² di titik singgung T adalah

Sudut antara dua lingkaran adalah sudut yang diapit oleh garis-garis singgung pada lingkaran di titik potong kedua lingkaran itu.

3.3 elips

Definisi

Ellips adalah himpunan semua titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.

Persamaan ellips yang berpusat O(0,0) dengan panjang sumbu mayor 2a adalah

berdasarkan gambar diatas didapatkan 

• c² = a² + b²
• ^{Eksentrisitas numerik} 
• AB adalah sumbu mayor ellips dengan panjang 2a

• CD adalah sumbu minor ellips dengan panjang 2b

Untuk ellips yang berpusat di P(α,β) dengan sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat persamaannya adalah

Persamaan garis singgung ellips yang berpusat di O adalah

Sifat utama garis singgung :

                Garis singgung di suatu titik pada ellips membagi dua sama besar sudut antar garis penghubung titik itu dengan titik fokus yang satu dan perpanjangan garis penghubung titik tersebut dengan titik fokus lainnya

Persamaan garis-garis arah (direktris) dari ellips adalah

3.4. hiperbola

Definisi:

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Titik tertentu itu adalah titik fokus.

Eksentrisitas dari hiperbola e>1

Persamaan pusat dari hiperbola adalah 

Untuk hiperbola dengan pusat P(α , β) dan sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat persamaannya adalah

Persamaan asimtot-asimtot hiperbola adalah

Dan persamaan garis-garis direktris hiperbola adalah

Persamaan garis singgung pada hiperbola dengan pusat P(α,β) adalah

3.5. Parabola

Definisi:

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang bergerak sama dari suatu titik dan suati garis tertentu.

Titik itu disebut titik fokus dan garis tertentu itu disebut garis-garis arah (garis direktris)

Persamaan puncak parabola adalah

Untuk parabola dengan puncak p(a,b) dan sumbu simetrinya sejajar sumbu x persamaannya adalah

Persamaan garis singgung pada parabola adalah

GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

2.1 Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut Inklinasi

Garis dibentuk oleh paling sedikit dua buah titik berbeda. Sebagai suatu himpunan, garis merupakan himpunan titik-titik yang tak hingga dan tak berbatas sehingga garis tidak memiliki dimensi panjang. Jika garis dibentuk oleh titik A dan B maka garis tersebut dapat dinamakan sebagai garis AB. Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h, l, m dan sebagainya. Sebuah garis juga disebut kurva berderajat satu yang dinyatakan sebagai :

Ax + By + C = 0 untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil

Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut.

Contoh 1

Sebuah garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1) Substitusi koordinat titik ke dalam persamaan kurva

Garis melalui A(1, 2)  A(1) + B(2) + C = 0  A + 2B + C = 0 ---------------------------- pers. 1

Garis melalui B(-3, 4)  A(3) + B(-4) + C = 0  -3A + 4B + C = 0 ------------------------ pers. 2

Garis melalui C(5, 0)  A(5) + B(0) + C = 0  5A + C = 0 --------------------------------- pers. 3

Langkah 2) Membuat sistem persamaan linier tiga variabel −𝐴+2𝐵+𝐶=03𝐴+4𝐵+𝐶=05𝐴+𝐶=0

Langkah 3) Menyelesaikan sistem persamaan linier

Penyelesaian sistem persamaan linier di atas yaitu :

A = 1, B = 2 dan C = -5

Maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis yang melalui A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) yaitu x + 2y - 5 = 0

Sketsa garis tersebut pada sistem koordinat Cartesius seperti gambar di bawah.

Sudut bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif dinamakan sudut inklinasi garis (angle of inclination) dan biasanya dinotasikan oleh sudut alpha. Kemiringan suatu garis dinamakan gradien (slope of the line) dan dinyatakan oleh notasi m.
Nilai tangent sudut  dapat ditentukan sebagai perbandingan antara panjang sisi tegak terhadap panjang sisi alas segitiga siku-siku. Sehingga dapat dirumuskan :

𝒎 = 𝐭𝐚𝐧𝜶 

                  = 𝒚𝟐−𝒚𝟏/𝟐−𝒙𝟏 

         𝜶 = 𝒂𝒓𝒄 𝐭𝐚𝐧 𝒎

Jadi nilai gradien suatu garis merupakan nilai tangen sudut inklinasi dan besarnya sudut inklanasi adalah nilai arc tan dari gradien garis.

Bentuk persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari x di mana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat sebagai berikut :

𝑨𝒙+𝑩𝒚+𝑪=𝟎 ⇒𝑩𝒚= −𝑨𝒙−𝑪 ⟹𝒚= −𝑨/𝑩𝒙− 𝑪/𝑩 ⟹𝒚=𝒎𝒙+𝒄

Konstanta m disebut sebagai gradien yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta persamaaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.

MENDESKRIPSIKAN GARIS BERDASARKAN GRADIEN DAN SUDUT INKLINASI

OR ⊥ AB, sehingga:

 

.

2.2 Sifat-sifat Garis dalam Bidang : Kesejajaran dan Perpotongan

         Sifat-sifat garis yang berada dalam sebuah bidang dalam geometri Euclide meliputi garis-garis yang berpotongan atau tidak berpotongan. Dua buah garis dikatakan berpotongan jika ada sebuah titik potong yang dilalui kedua garis. Dua garis tidak berpotongan disebut saling sejajar.

2.3 Persamaan Normal Sebuah Garis

x cos 𝛃 + y sin 𝛃 - p = 0

dengan, 

Contoh soal

     Misalkan x menyatakan suhu dalam derajat Celsius (centigrade) dan variabel y menyatakan suhu dalam derajat Fahrenheit. Ukuran suhu 0°C setara dengan 32°F, dan suhu 100°C sama dengan 212°F. Tentukan persamaan garis yang menyatakan hubungan suhu y Fahrenheit terhadap suhu x Celsius dalam bentuk y = mx + c. Ubahlah persamaan tersebut dalam persamaan normal. Buatlah grafik garis pada sistem koordinat Cartesius, tentukan titik-titik potong garis dengan sumbu koordinat.

Penyelesaian :

Diketahui :
x menyatakan suhu dalam derajat Celsius
y menyatakan suhu dalam derajat Fahrenheit
0°C setara dengan 32°F
suhu 100°C sama dengan 212°F

Ditanya :
1. Persamaan garis 
2. Persamaan normal garis tersebut.
3. grafik garis pada sistem koordinat Cartesius.

Jawab :

1. Persamaan Garis

   Menggunakan persamaan gradien

2) Persamaan Normal garis tersebut

 y = 1,8x + 30, maka m = 1,8

𝛂 = arc tan m

𝛂 = arc tan 1,8

𝛂 = 60,95◦

𝛃 = 90° + 60,95°

𝛃 = 150,95°

Misalkan titik potong di y = 0, maka x = -16,67

p = -16,67 . cos 150,95°

p = -16,67 . -0,87

p = 14,5 

Persamaan Normal garis :

x cos 𝛃 + y sin 𝛃 - p = 0

x cos 150,95° + y sin 150,95° - 14,5 = 0

x (-0,87) + y (0,48) - 14,5 = 0

-0,87x + 0,48y - 14,5 = 0

Jadi persamaan normal dari  y = 1,8x + 30 adalah -0,87x + 0,48y - 14,5 = 0