KOORDINAT KARTESIUS, VEKTOR DAN PERSAMAAN BIDANG DALAM RUANG DIMENSI

1. Sistem koordinat dimensi tiga
Ambil tiga garis koordinat yang saling tegak lurus, misalnya sumbusumbu X , Y dan Z dengan titik Nol berada pada suatu titik O yang sama.disebut titik asal. Sistem koordinat dimensi tiga dapat digambarkan seperti Gambar

Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang yz , bidang xz dan bidang xy yang membagi ruang menjadi delapan oktan, Jika titik P dalam ruang, maka koordinat kartesiusnya dituliskan berupa bilangan ganda tiga yaitu P(x, y,z) Dalam sistem koordinat dimensi tiga terbagi atas tiga bidang, yaitu :
1. bidang yz yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-x
2. bidang xz yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-y
3. bidang xy yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-z
ketiga bidang tersebut dapat digambarkan seperti Gambar berikut

contoh :
Diketahui dua Titik yaitu titik P(2,1,2) dan titik Q(-2,-3,4) dimana letak kedua titik tersebut
penyelesaian :

• Titik P(2,1,2) , maka artinya titik P terletak pada 2 satuan dari Sumbu - X , 1 satuan dari Sumbu -Y dan 2 satuan dari Sumbu - Z artinya titik P terletak pada Oktan pertama. 
• Titik Q(-2,-3,4) , maka artinya titik Q terletak pada -2 satuan dari Sumbu - X , -3 satuan dari Sumbu -Y dan 4 satuan dari Sumbu - Z artinya titik Q terletak pada Oktan ketiga

Jika titik P(x, y,z) sebenarnya merupakan jarak dari tiga bidang tersebut, titik P(x, y,z) berarti berjarak x dari bidang yz, berjarak y dari xz dan berjarak z dari bidang xy sehingga jika digambar dalam sistem koordinat dimensi tiga seperti Gambar

 

Jarak Dua Titik

Misalnya ada dua titik yaitudan  dalam ruang dimensi tiga dimana dan merupakan titik sudut yang berlawanan didalam suatu balok seperti pada Gambar berikut

Jika kita letakan sebuah titik Q dan titik R ternyata masing-masing titik mempunyai koordinat dan titik R mempunyai koordinat, karena segitiga  siku-siku di Q dan segitiga siku-siku di R , maka akan diperoleh panjang garis  dan panjang garis menurut rumus Pytagoras yaitu

secara umum diketahui dan  maka panjang atau jarak antara titikdan dirumuskan sebagai berikut :

contoh :

Diketahui titik P(3,4-2) dan Q(-4,-2,5) tentukan jarak titik P ke Q atau 

penyelesaian:

Diketahui P(3,4-2) dan Q(-4,-2,5), maka jarak kedua titik itu

adalah :

vektor dalam ruang dimensi tiga

Vektor basis di R3 adalah maka vektor u dapat dinyatakan 

dan panjang u dinyatakan dengan 

Penjumlahan, pengurangan dan perkalian vektor dengan scalar di R3 sama seperti penjumlahan, pengurangan dan perkalian vektor dengan scalar di R2. Begitu pula hukum-hukum aljabar yang diterapkan akan sesuai dengan kaidah yang telah dipelajari sebelumnya.

Hasil Kali Titik (dot product)

jika dan maka.

Dan mempunyai interpretasi geometri sebagai berikut

Dengan sudut antara u dan v 

Dua buah vektor akan saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali titiknya nol.

Sudut dan kosinus arah

misalkanadalah vektor posisi titik A dengan A berimpit dengan O, sudut-sudut antara vektordengan vektor satuanmaka sudut-sudut arah vektorSudut-sudut 

maka

contoh :

Cari sudut-sudut arah vektor

penyelesaian: 

Hasil kali silang dua vektor

dan

= sudut yang dibentuk olehdandengan

Dengan u = vektor satuan, maka

Apabilasejajar denganyaitu= 0, maka

Hasil kali silang dua vektor-vektor bersifat distributif terhadap penjumlahan vektor yaitu:

Untuk vektor i,j dan k :

Dengan cara yang sama kita peroleh:

Selanjutnya dapat diturunkan teknik perhitungan  dengan menggunakan determinan:

2. Persamaan bidang datar

Grafik dalam ruang dimensi tiga pada prinsipnya sama dengan grafik pada bidang dimensi dua, jika pada dimensi dua berupa garis, maka pada dimensi tiga akan berupa bidang, demikian juga jika pada dimensi dua berupa bidang, maka jika digambar pada dimensi tiga akan berupa ruang. Persamaan linier pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah bidang, secara umum persamaan linier dalam ruang dimensi tiga dirumuskan sebagai berikut :

 

dengan syarat

jika suatu bidang S memotong ke tiga sumbu koordinat yaitu sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z, maka untuk menggambar grafiknya kita tentukan titik potong pada ketiga sumbu tersebut, yaitu titik potong sumbu-x yaitu P(x,0,0), titik potong sumbu-y yaitu Q(0, y,0) dan titik potong sumbu-z yaitu R(0,0, z), untuk menentukan nilai y x, dan z sebagai berikut :

•  Untuk menentukan nilai x , maka kita beri nilai 0 = y dan 0 = z
•  Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nilai 0 = x dan 0 = z
•  Untuk menentukan nilai z , maka kita beri nilai 0 = x dan 0 = y

Sehingga akan diperoleh ketiga titik potong yaitu P(x,0,0) , Q(0,y,0) dan R(0,0,z)

contoh : Gambarkan grafik dari persamaan 3x+4y+2z=12

penyelesaian:

Untuk menentukan ke tiga titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai y x, dan z , yaitu :

• Untuk menentukan nilai x , maka kita beri nilai y = 0 dan z = 0 dan kita substitusikan ke persamaan 3x+4y+2z=12 maka diperoleh

 3x+4(0)+2(0)=12
3x=12
x=4 sehingga titik pototng sumbu-x adalah (4,0,0)

• Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nilai x = 0 dan z = 0 dan kita substitusikan ke persamaan 3x+4y+2z=12, maka diperolah

3(0)+4y+2(0)=12

4y=12

y=3 sehingga titik potong sumbu-y adalah (0,3,0)

• Untuk menentukan nilai z , maka kita beri nilai x = 0 dan y = 0 dan kitasubstitusikan ke persamaan 3x+4y+2z=12, maka diperoleh

3(0)+4(0)+2z=12

2z=12

z=6 sehingga titik potong sumbu-z adalah (0,0,6)

Sehingga kita peroleh titik-titik potong terhadap ke tiga sumbu yaitu P(4,0,0), Q(0,3,0) dan R(0,0,6) jika kita letakkan ketiga titik tersebut pada sistem koordinat dimensi tiga, maka akan terlihat seperti berikut